導(dǎo)流模又稱前室模，是生產(chǎn)薄壁復(fù)雜實(shí)心型材常用的擠壓模具。采用導(dǎo)流模具生產(chǎn)型材時(shí)，坯料首先通過導(dǎo)流孔預(yù)成形，獲得與型材相似的幾何形狀，然后再進(jìn)行二次變形，擠壓出各種斷面形狀的型材。導(dǎo)流孔不僅增大了坯料與型材的幾何相似性，有效地控制了金屬流動，減少了產(chǎn)品的扭擰和彎曲變形，而且改善了模具的受力條件，提高了模具壽命，所以其設(shè)計(jì)是否合理是導(dǎo)流模具設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。傳統(tǒng)模具設(shè)計(jì)主要依賴設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過反復(fù)試模修模，最后生產(chǎn)出合格零件，既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力。利用數(shù)值仿真的方法不僅周期短、成本低，而且可以獲得材料的應(yīng)力、應(yīng)變、溫度、速度等現(xiàn)場難以測量的場量，對于掌握擠壓過程中材料在模具中的流動規(guī)律進(jìn)而提高型材質(zhì)量非常重要。為此，國內(nèi)外許多學(xué)者采用數(shù)值模擬的方法對擠壓成形過程進(jìn)行了大量的研究，并取得了較大的進(jìn)展。

目前關(guān)于擠壓過程的數(shù)值模擬研究大多采用拉格朗日法和歐拉法。采用拉格朗日法分析大變形的擠壓問題時(shí)，單元容易產(chǎn)生畸變，需要頻繁的網(wǎng)格重劃，導(dǎo)致體積損失過大，嚴(yán)重影響了計(jì)算精度；而采用歐拉法模擬時(shí)，需要利用復(fù)雜的數(shù)學(xué)映射來描述自由表面的運(yùn)動狀況并且對材料所有可能流過的區(qū)域劃分網(wǎng)格，占用大量計(jì)算機(jī)內(nèi)存，特別是分析薄壁、空心、復(fù)雜斷面型材時(shí)計(jì)算時(shí)間令人難以接受。ALE(Arbitrary Lagrangian Eulerian, ALE) 算法吸收了拉格朗日和歐拉算法的優(yōu)點(diǎn)，通過引入一個(gè)獨(dú)立于物質(zhì)構(gòu)型和空間構(gòu)型的參考構(gòu)型，使得計(jì)算網(wǎng)格能夠任意移動，從而避免了單元畸變以及自由界面追蹤所帶來的困難。本文采用基于ALE算法的商業(yè)化軟件HyperXtrude對一異形鋁型材的擠壓過程進(jìn)行數(shù)值模擬，以導(dǎo)流孔形狀為影響因素，采用Box-Behnken設(shè)計(jì)確定試驗(yàn)方案建立分析模型，利用最小二乘法對模擬結(jié)果進(jìn)行擬合，得到型材截面速度均方差的響應(yīng)曲面公式，并以此為優(yōu)化目標(biāo)采用粒子群算法對導(dǎo)流孔形狀進(jìn)行優(yōu)化。

2 優(yōu)化模型的相關(guān)理論

2.1 ALE算法基本理論

ALE算法以物質(zhì)運(yùn)動的ALE模型為理論基礎(chǔ)，不同于拉格朗日或歐拉描述模型，ALE模型另外引進(jìn)了一個(gè)獨(dú)立于物質(zhì)構(gòu)型(ΩX)和空間構(gòu)型(Ωx)的參考構(gòu)型(Ωξ)。計(jì)算網(wǎng)格的劃分是在參考構(gòu)型中進(jìn)行的，獨(dú)立于物體和空間運(yùn)動的，可以根據(jù)需要自由選擇。根據(jù)任意單元體中的質(zhì)量、動量和能量守恒定律，獲得參考坐標(biāo)系下的控制方程：
    質(zhì)量守恒方程：

 

    動量守恒方程：

 

    能量守恒方程： 

  

式中ρ為材料的密度，wi、wj為物質(zhì)點(diǎn)在ξ空間中的位置矢量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，vi為物質(zhì)點(diǎn)在空間中的速度矢量，Tji為定義在參考構(gòu)型下的第一類皮奧拉-克希荷夫應(yīng)力張量，fi為作用于物體中單位質(zhì)量的體力，e為物體單位質(zhì)量中的內(nèi)能。

在采用ALE算法求解具體問題時(shí)，需要引入正確的材料本構(gòu)關(guān)系并對模型施加適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，然后對整個(gè)控制方程進(jìn)行求解。

2.2 響應(yīng)曲面模型和Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)

響應(yīng)曲面法(response surface methodology, RSM)，也稱回歸設(shè)計(jì)，是采用多元二次回歸方程來擬合因素和響應(yīng)值之間的函數(shù)關(guān)系，通過對回歸方程的分析來尋求最優(yōu)工藝參數(shù)，解決多變量問題的一種統(tǒng)計(jì)方法。RSM法與其他數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方法相比，不僅考慮了自變量之間的交互作用，提高了擬合精度，而且還可以運(yùn)用圖形技術(shù)將二者之間的函數(shù)關(guān)系顯示出來，使結(jié)果更加直觀。本文選擇二階響應(yīng)曲面方程，其模型可表示為：

  

式中，xi為設(shè)計(jì)變量，ε為殘余誤差，βo、βi、βii、βpi均為待定系數(shù)。

Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)是一種基于三水平的二階試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，可以評價(jià)指標(biāo)和因素之間的非線性關(guān)系，是RSM常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法之一。Box-Behnken設(shè)計(jì)的每個(gè)因素只需要三個(gè)水平，與其他方法(如星點(diǎn)設(shè)計(jì)法)相比所需的試驗(yàn)次數(shù)較少，效率更高，且所有的影響因素不會同時(shí)處于高水平，所有的試驗(yàn)點(diǎn)都落在安全區(qū)域內(nèi)，因此本文選取Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法對導(dǎo)流孔的形狀進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2.3 PSO算法基本原理

粒子群優(yōu)化算法（particle swarm optimization, PSO）是Kennedy和Eberhart于1995年提出的一種以鳥類覓食行為為基礎(chǔ)的全局優(yōu)化算法，因其原理簡單，算法實(shí)現(xiàn)容易，運(yùn)行速度快，已被廣泛應(yīng)用于機(jī)械、化工、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。該算法模仿鳥類的群體覓食過程，將待優(yōu)化問題的解看作為搜索空間中的一個(gè)粒子（鳥），解的優(yōu)劣程度由適應(yīng)函數(shù)決定。各粒子通過不斷追蹤自身所經(jīng)過的最佳位置和整個(gè)種群所經(jīng)過的最佳位置這兩個(gè)極值來更新自己的速度和位置，最終到達(dá)全局最優(yōu)解所在的位置。

3 模擬試驗(yàn)方案的確定

為了獲得最優(yōu)的導(dǎo)流孔形狀，進(jìn)而更好地控制材料在模具中的流動，提高型材質(zhì)量，在保持其他工藝參數(shù)不變的情況下，選取導(dǎo)流孔不同部位的寬度作為優(yōu)化變量，如圖1所示，并結(jié)合實(shí)際情況確定各個(gè)變量的范圍如表1所示。以模具出口型材截面上的金屬流速均方差(SDV)為優(yōu)化目標(biāo)，建立優(yōu)化模型如下：

式中，n為所考慮截面內(nèi)的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)；vi為出口截面上第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的流速；v為出口截面上所有節(jié)點(diǎn)的平均流速。

表1 設(shè)計(jì)變量及其取值范圍

  

 
圖1 設(shè)計(jì)變量的位置

選取6063鋁合金作為模擬材料，擠壓筒預(yù)熱溫度為450℃，坯料加熱溫度為480℃，擠壓比為31.2，模具與坯料間的對流換熱系數(shù)為3000 W/m2·℃，擠壓速度為2mm/s，模具工作帶處設(shè)為庫侖摩擦，摩擦系數(shù)為0.3，其他部位設(shè)置為粘性摩擦。將材料流經(jīng)區(qū)域分為棒料、導(dǎo)流孔、工作帶和型材四個(gè)部分進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并建立分析模型如圖2所示，其中工作帶和型材部分采用三棱柱網(wǎng)格，導(dǎo)流孔和棒料部分采用四面體網(wǎng)格。將上述4個(gè)設(shè)計(jì)變量在各自范圍內(nèi)取3個(gè)水平，采用Box-Behnken設(shè)計(jì)確定試驗(yàn)方案，對所設(shè)計(jì)29組試驗(yàn)方案進(jìn)行數(shù)值模擬，并計(jì)算出相應(yīng)的型材出口流速均方差，如表2所示（由于數(shù)據(jù)較多，在此只列出部分結(jié)果）。

 

圖2 分析模型
表2 Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)表及計(jì)算結(jié)果

   

 3.2 型材壁厚